几种产品,利润最大的线性规划数学模型
解题方法
- 设第一样有x1,第二样有x2...
- 确定目标函数maxz=c1x1+c2x2+...+cnxn 或 minz=c1x1+c2x2+...+cnxn
- 列个 s.t.{ 把各个约束条件列上去
- 在{ 最后写上 {内各未知条件的取值范围
例题
某厂生产A、B、C三种产品,都需要用到煤、金属材料、电力资
源。各产品的单位产品利润、资源消耗以及现有生产资源如下:
问如何制定生产计划可使该厂利润最大,请建立线性规划数学模型。
解题步骤
- 设A产品的产量是x1吨,设B产品的产量是x2吨,设C产品的产量是x3吨。⇒ 煤共用了6x1+8x2+7x3,金属共用了80x1+50x2+60x3,电共用了50x1+10x2+30x3,共赚了利润8x1+5x2+7x3。
- maxz=8x1+5x2+7x3
- s.t.⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧6x1+8x2+7x3≤54080x1+50x2+60x3≤400050x1+10x2+30x3≤2000x1,x2,x3≥0
化标准型
标准型目标:
- 目标函数为max的形式
- 多变量的式子都是等式
- 右侧的数字都是≥0的
- 式子中的变量都是≥0的
解题方法
- 将minα=a变成maxβ=−a
- 将大括号中多变量的式子都变成等式(给不等式加上或减去某个≥0的xn,就能变成等式)
- 使所有式子最右边的数都≥0
- 将大括号中单变量的式子都变成啥≥0的形式,若某变量xm≤0,则设置一个≥0的新变量xm′,使xm′=−xm,这样可以将xm≤0变成xm′≥0。
- 若某变量xp没提到\是自由变量\是无约束变量,这说明xp可正可负可为0,则两个≥0的新变量xp′、xp′′使xp′−xp′′=xp(因为两个≥0的数相减,结果就是可正可负可为0)
- 把大括号里所以单变量的式子,写到最下面一行。
例题
minz=3x1−x2+2x3
s.t.⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧2x1+x2−4x3≤1x1+2x2+2x3≥2x1+x2=−2x2≥,x3≤0
解题步骤
- maxβ=−3x1+x2−2x3
- s.t.⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧2x1+x2−4x3+x4=1 x4≥0x1+2x2+2x3−x5=2 x5≥0x1+x2=−2x2≥,x3≤0
- s.t.⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧2x1+x2−4x3+x4=1 x4≥0x1+2x2+2x3−x5=2 x5≥0−x1−x2=2x2≥,x3≤0
- s.t.⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧2x1+x2+4x3′+x4=1 x4≥0x1+2x2−2x3′−x5=2 x5≥0−x1−x2=2x2≥,x3′≥0
- s.t.⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧2x1′−2x1′′+x2+4x3′+x4=1 x4≥0x1′−x1′′+2x2−2x3′−x5=2 x5≥0x1′′−x1′−x2=2x1′≥0,x1′′≥0,x2≥,x3′≥0
- s.t.⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧2x1′−2x1′′+x2+4x3′+x4=1x1′−x1′′+2x2−2x3′−x5=2x1′′−x1′−x2=2x1′≥0,x1′′≥0,x2≥,x3′≥0,x4≥0,x5≥0
图解法
解题方法
-
画出x1Ox2坐标系,在坐标系中画出满足“{”的区域M。
a.把“{”内每个不等式都尽量变成x2如何的式子
b.讲不等式中的≥,≤变成=,得到几条直线并将这些直线画到x1Ox2坐标系中。
c.若原不等式是{x2≥?, 画出直线上面的区域x2≤?, 画出直线下面的区域
若原不等式是{x1≥?, 画出直线右面的区域x1≤?, 画出直线左面的区域
d.各区域重合部分为M
若{区域M不存在, 则直接写答案,无解若区域M存在, 则继续步骤2
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令目标函数左边等于0,得到直线L,做出平行于直线L,并且与M相切的两条线,找出切点坐标,将坐标代入目标函数,求出值。
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若要求max,则得到最大值的切点为最优解;
若要求min,则得到最肖值的切点为最优解;
注:若最优解是无数个点,则答:有无穷多解
若最优解在无穷远处,则答:解为无界解